对于第一个问题，根据《劳动合同法》第十条的规定“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。”劳动合同到期时间，即为该劳动合同的终止时间，用人单位继续与劳动者保持劳动关系的，应当重新签订书面劳动合同。
　　对于第二个问题，根据最高人民法院《关于审理劳动争议案件适用法律若干问题的解释》(法释[2001]14号)第十六条的规定以及劳动和社会保障部办公厅《关于对事实劳动关系解除是否应该支付经济补偿金问题的复函》(劳社厅函[2001]249号)规定，劳动合同到期后，用人单位未与劳动者签订劳动合同，劳动者继续工作的，用人单位未提出异议，则用人单位与劳动者之间存在事实劳动关系，而不等于双方之前签订的书面劳动合同持续有效，也不等于用人单位与劳动者按照原劳动合同约定的期限续签了一个新的劳动合同，而是视为用人单位与劳动者以原劳动合同约定的条件建立了事实劳动关系。

　　对于第一个问题，根据《劳动合同法实施条例》第五条的规定“自用工之日起一个月内，经用人单位书面通知后，劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，无需向劳动者支付经济补偿，但是应当依法向劳动者支付其实际工作时间的劳动报酬。”可知，如果用人单位通知劳动者续签劳动合同，而劳动者因自身原因不签订劳动合同的，用人单位无需支付二倍工资，终止劳动关系也无需支付经济补偿金。而在本案中，虽然公司书面通知赵某在一个月内续签劳动合同而因赵某自身的原因未签订，公司在期满时应当书面通知赵某终止劳动关系，但是如果超过一个月后公司未终止劳动关系，则双方之间仍然存在事实劳动关系，公司应当支付二倍的工资。
　　对于第二个问题，根据《劳动合同法》第八十二条的规定“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”以及《劳动合同法实施条例》第六条、第七条的规定，若劳动合同到期后，用人单位与劳动者都未意识到续签劳动合同，则双方之间形成了事实劳动关系，用人单位应当按照《劳动合同法》的规定支付二倍工资。

　　根据《劳动合同法》第四十四条的规定“有下列情形之一的，劳动合同终止：(一)劳动合同期满的；……。”第四十六条的规定“有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：…(五)除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订情形外的，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的；…。”第五十条的规定“用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转系手续。劳动者应当按照双方约定，办理工作交接。用人单位依照本法规定应当向劳动者支付经济补偿的，在办理工作交接时支付。用人单位对已经解除或者终止的劳动合同的文本，至少保存二年备查。”可知，劳动合同到期，不再续签劳动合同，用人单位与劳动者终止劳动合同，解除劳动关系，须要做到：
　　第一，告知劳动者劳动合同到期，不与其续签劳动合同；
　　第二，向劳动者出具终止劳动合同的证明，载明终止日期、工作岗位、在本单位的工作年限；
　　第三，在十五日内为劳动者办理相应的档案、社保关系转移手续；
　　第四，向劳动者支付相应的经济补偿金。

　　根据《劳动合同法实施条例》第六条的规定“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资；…前款规定的用人单位向劳动者每月支付两倍工资的起算时间为用工之日起满一个月的次日，截止时间为补订书面劳动合同的前一日。”故，在本案中，公司在原劳动合同到期后，未与赵某续签劳动合同，赵某有权要求公司支付未签劳动合同的二倍工资，公司应当支付赵某2014年4月1日至2015年1月期间的二倍工资。

　　对于第一问，根据《劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同，且不需要支付经济补偿金。故对于赵某因为工作出现纰漏被辞退，公司是否需要支付经济补偿金，需要判断赵某出现的纰漏是否属于严重失职、营私舞弊，是否给公司造成了重大的损害，如果属于严重失职而造成了公司的重大损害，则公司辞退赵某是不需要支付经济补偿金的，但如果赵某不属于严重失职且并未给公司造成重大损害，公司辞退赵某，则应当支付相应的经济补偿金。
　　对于第二问，根据《劳动合同法》第三十九条、第四十六条的规定，公司在下列情况下辞退劳动者是不需要支付经济补偿金的：
　　(1)劳动者在试用期内被证明不符合录用条件的；
　　(2)劳动者严重违反用人单位的规章制度的；
　　(3)劳动者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
　　(4)劳动者同时与其他单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
　　(5)以欺诈、胁迫的手段或者趁人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同而致使劳动合同无效的；
　　(6)被依法追究刑事责任的。

　　根据《劳动合同法》第四十七条的规定，用人单位向劳动者支付经济补偿金的计算方式为：
　　第一，经济补偿按劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月的工资，六个月以上不满一年的，按一年计算，不满六个月的，向劳动者支付按个月的工资；
　　第二，劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付的经济补偿金的标准按照职工月平均工资的三倍数额支付，向其支付的年限最高不超过二十年；
　　第三，月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，不足十二个月的，按实际月份的平均工资。
　　在本案中，赵某自2011年3月1日至2015年1月在公司工作，其工作年限为五年，故公司应当向其支付五个月工资的经济补偿金，其月工期为2014年1月至2015年1月的平均工资。

　　对于这两个问题，涉及的方面比较多，针对在实践中发生劳动争议的因素也是比较多的，提出一些主要的建议：
　　根据《劳动合同法》第十七条的规定，劳动者在与用人单位签订劳动合同时，应当特别注意以下几个方面：
　　第一，劳动合同对于合同期限、试用期的约定；
　　第二，劳动合同对工作内容、工作岗位、工作地点的约定；
　　第三，劳动合同对工作时间、休息休假的约定；
　　第三，劳动合同对劳动报酬(包括工资、加班费)的约定；
　　第四，劳动合同对劳动合同的终止或者解除条件的约定；
　　第五，劳动合同对培训、保密、补充保险以及福利待遇等事项的约定。
　　根据实践中发生的劳动纠纷案件，公司为了避免与劳动者发生劳动合同纠纷应当：
　　第一，与劳动者在平等、协商一致、自愿的情况下订立书面劳动合同；
　　第二，劳动合同内容的约定要符合劳动法律法规的规定并全面履行用人单位的义务；
　　第三，按照劳动合同的约定和劳法律法规的规定及时足额支付劳动报酬，安排加班费，支付相应的加班费；
　　第四，按照法律规定安排劳动者休婚假、产假、带薪年休假等相应的假期；
　　第五，依法足额为劳动者缴纳社保；
　　第六，与劳动者解除或者终止劳动关系要符合劳动法规的规定。